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    1、試題題目:已知函數f(x)=ln(x+2)-a(x+1)(a>0).(1)求函數f(x..

    發布人:繁體字網(www.ban49.com) 發布時間:2015-12-04 07:30:00

    試題原文

    已知函數f(x)=ln(x+2)-a(x+1)(a>0).
    (1)求函數f(x)的單調區間;
    (2)若x>-2,證明:1-
    1
    x+2
    ≤ln(x+2)≤x+1.

      試題來源:安徽模擬   試題題型:解答題   試題難度:中檔   適用學段:高中   考察重點:函數的單調性與導數的關系



    2、試題答案:該試題的參考答案和解析內容如下:
    (1)函數f(x)的定義域為(-2,+∞),
    f’(x)=
    1
    x+2
    -a=
    -ax+1-2a
    x+2
    =
    -a(x-
    1-2a
    a
    )
    x+2

    ∵a>0,
    1-2a
    a
    =
    1
    a
    -2
    >-2,
    令f′(x)>0,得-2<x<
    1-2a
    a

    令f′(x)<0,得x>
    1-2a
    a

    所以函數f(x)的單調遞增區間為(-2,
    1-2a
    a
    ),單調遞減區間為(
    1-2a
    a
    ,+∞).
    (2)由(1)知,a=1時,f(x)=ln(x+2)-(x+1),
    此時f(x)的單調遞增區間為(-2,-1),
    單調遞減區間為(-1,+∞).
    所以,x>2時,g(x)=
    1
    x+2
    -
    1
    (x+2)2
    =
    x+1
    (x+2)2

    ∴當x∈(-2,-1)時,g′(x)<0,
    當x∈(-1,+∞)時,g′(x)>0.
    ∴當x>-2時,g(x)≥g(-1),
    即ln(x+2)+
    1
    x+2
    -1≥0,
    ∴ln(x+2)≥1-
    1
    x+2

    所以,當x>-2時,1-
    1
    x+2
    ≤ln(x+2)≤x+1.
    3、擴展分析:該試題重點查考的考點詳細輸入如下:

        經過對同學們試題原文答題和答案批改分析后,可以看出該題目“已知函數f(x)=ln(x+2)-a(x+1)(a>0).(1)求函數f(x..”的主要目的是檢查您對于考點“高中函數的單調性與導數的關系”相關知識的理解。有關該知識點的概要說明可查看:“高中函數的單調性與導數的關系”。


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