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                  1、試題題目:已知函數f(x)=ln(x+2)-a(x+1)(a>0).(1)求函數f(x..

                  發布人:繁體字網(www.ban49.com) 發布時間:2015-12-04 07:30:00

                  試題原文

                  已知函數f(x)=ln(x+2)-a(x+1)(a>0).
                  (1)求函數f(x)的單調區間;
                  (2)若x>-2,證明:1-
                  1
                  x+2
                  ≤ln(x+2)≤x+1.

                    試題來源:安徽模擬   試題題型:解答題   試題難度:中檔   適用學段:高中   考察重點:函數的單調性與導數的關系



                  2、試題答案:該試題的參考答案和解析內容如下:
                  (1)函數f(x)的定義域為(-2,+∞),
                  f’(x)=
                  1
                  x+2
                  -a=
                  -ax+1-2a
                  x+2
                  =
                  -a(x-
                  1-2a
                  a
                  )
                  x+2

                  ∵a>0,
                  1-2a
                  a
                  =
                  1
                  a
                  -2
                  >-2,
                  令f′(x)>0,得-2<x<
                  1-2a
                  a

                  令f′(x)<0,得x>
                  1-2a
                  a

                  所以函數f(x)的單調遞增區間為(-2,
                  1-2a
                  a
                  ),單調遞減區間為(
                  1-2a
                  a
                  ,+∞).
                  (2)由(1)知,a=1時,f(x)=ln(x+2)-(x+1),
                  此時f(x)的單調遞增區間為(-2,-1),
                  單調遞減區間為(-1,+∞).
                  所以,x>2時,g(x)=
                  1
                  x+2
                  -
                  1
                  (x+2)2
                  =
                  x+1
                  (x+2)2

                  ∴當x∈(-2,-1)時,g′(x)<0,
                  當x∈(-1,+∞)時,g′(x)>0.
                  ∴當x>-2時,g(x)≥g(-1),
                  即ln(x+2)+
                  1
                  x+2
                  -1≥0,
                  ∴ln(x+2)≥1-
                  1
                  x+2

                  所以,當x>-2時,1-
                  1
                  x+2
                  ≤ln(x+2)≤x+1.
                  3、擴展分析:該試題重點查考的考點詳細輸入如下:

                      經過對同學們試題原文答題和答案批改分析后,可以看出該題目“已知函數f(x)=ln(x+2)-a(x+1)(a>0).(1)求函數f(x..”的主要目的是檢查您對于考點“高中函數的單調性與導數的關系”相關知識的理解。有關該知識點的概要說明可查看:“高中函數的單調性與導數的關系”。


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