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        1、試題題目:已知拋物線D的頂點是橢圓Q:x24+y23=1的中心O,焦點與橢圓Q的右焦..

        發布人:繁體字網(www.ban49.com) 發布時間:2016-01-05 07:30:00

        試題原文

        已知拋物線D的頂點是橢圓Q:
        x2
        4
        +
        y2
        3
        =1
        的中心O,焦點與橢圓Q的右焦點重合,點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是拋物線D上的兩個動點,且|
        OA
        +
        OB
        |=|
        OA
        -
        OB
        |
        (Ⅰ)求拋物線D的方程及y1y2的值;
        (Ⅱ)求線段AB中點軌跡E的方程;
        (Ⅲ)求直線y=
        1
        2
        x
        與曲線E的最近距離.

          試題來源:不詳   試題題型:解答題   試題難度:中檔   適用學段:高中   考察重點:圓錐曲線綜合



        2、試題答案:該試題的參考答案和解析內容如下:
        (I)由題意,可設拋物線方程為y2=2px
        由a2-b2=4-3=1?c=1.
        ∴拋物線的焦點為(1,0),∴p=2
        ∴拋物線方程為y2=4x(2分)
        ∵點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是拋物線上的兩個動點,
        所以:y12=4x1,y22=4x2
        ∴(y1y22=16x1x2
        |
        OA
        +
        OB
        |=|
        OA
        -
        OB
        |
         
        OA
        OB

        ∴x1x2+y1y2=0.
        (y1y2)2
        16
        +y1y2
        =0?y1y2(
        y1y2
        16
        +1)
        =0
        ∵y1y2≠0
        ∴y1y2=-16.
        (Ⅱ)∵|
        OA
        +
        OB
        |=|
        OA
        -
        OB
        |
        OA
        OB

        設OA:y=kx,OB:y=-
        1
        k
        x
        y=kx
        y2=4x
        ?A(
        4
        k2
        4
        k
        ).同理可得B(4k2,-4k)
        設AB的中點為(x,y),則由
        x=
        2
        k2
        +2k 2
        y=
        2
        k
        -2k
        消去k,得y2=2x-8.(10分)
        (Ⅲ)設與直線y=
        1
        2
        x平行的直線x-2y+m=0.
        由題設可知直線x-2y+m=0應與曲線E:y2=2x-8相切
        y2=2x-8
        x-2y+m=0
        消去x整理得:y2-4y+2m+8=0.
        所以△=16-4(2m+8)=0?m=-2
        ∴直線y=
        1
        2
        x 與x-2y-2=0之間的距離即為直線y=
        1
        2
        x
        與曲線E的最近距離.
        所以所求距離為:d=
        |0-(-2)|
        12+(-2)2
        =
        2
        5
        5
        3、擴展分析:該試題重點查考的考點詳細輸入如下:

            經過對同學們試題原文答題和答案批改分析后,可以看出該題目“已知拋物線D的頂點是橢圓Q:x24+y23=1的中心O,焦點與橢圓Q的右焦..”的主要目的是檢查您對于考點“高中圓錐曲線綜合”相關知識的理解。有關該知識點的概要說明可查看:“高中圓錐曲線綜合”。


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