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    1、試題題目:已知拋物線D的頂點是橢圓Q:x24+y23=1的中心O,焦點與橢圓Q的右焦..

    發布人:繁體字網(www.ban49.com) 發布時間:2016-01-05 07:30:00

    試題原文

    已知拋物線D的頂點是橢圓Q:
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    的中心O,焦點與橢圓Q的右焦點重合,點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是拋物線D上的兩個動點,且|
    OA
    +
    OB
    |=|
    OA
    -
    OB
    |
    (Ⅰ)求拋物線D的方程及y1y2的值;
    (Ⅱ)求線段AB中點軌跡E的方程;
    (Ⅲ)求直線y=
    1
    2
    x
    與曲線E的最近距離.

      試題來源:不詳   試題題型:解答題   試題難度:中檔   適用學段:高中   考察重點:圓錐曲線綜合



    2、試題答案:該試題的參考答案和解析內容如下:
    (I)由題意,可設拋物線方程為y2=2px
    由a2-b2=4-3=1?c=1.
    ∴拋物線的焦點為(1,0),∴p=2
    ∴拋物線方程為y2=4x(2分)
    ∵點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是拋物線上的兩個動點,
    所以:y12=4x1,y22=4x2
    ∴(y1y22=16x1x2
    |
    OA
    +
    OB
    |=|
    OA
    -
    OB
    |
     
    OA
    OB

    ∴x1x2+y1y2=0.
    (y1y2)2
    16
    +y1y2
    =0?y1y2(
    y1y2
    16
    +1)
    =0
    ∵y1y2≠0
    ∴y1y2=-16.
    (Ⅱ)∵|
    OA
    +
    OB
    |=|
    OA
    -
    OB
    |
    OA
    OB

    設OA:y=kx,OB:y=-
    1
    k
    x
    y=kx
    y2=4x
    ?A(
    4
    k2
    4
    k
    ).同理可得B(4k2,-4k)
    設AB的中點為(x,y),則由
    x=
    2
    k2
    +2k 2
    y=
    2
    k
    -2k
    消去k,得y2=2x-8.(10分)
    (Ⅲ)設與直線y=
    1
    2
    x平行的直線x-2y+m=0.
    由題設可知直線x-2y+m=0應與曲線E:y2=2x-8相切
    y2=2x-8
    x-2y+m=0
    消去x整理得:y2-4y+2m+8=0.
    所以△=16-4(2m+8)=0?m=-2
    ∴直線y=
    1
    2
    x 與x-2y-2=0之間的距離即為直線y=
    1
    2
    x
    與曲線E的最近距離.
    所以所求距離為:d=
    |0-(-2)|
    12+(-2)2
    =
    2
    5
    5
    3、擴展分析:該試題重點查考的考點詳細輸入如下:

        經過對同學們試題原文答題和答案批改分析后,可以看出該題目“已知拋物線D的頂點是橢圓Q:x24+y23=1的中心O,焦點與橢圓Q的右焦..”的主要目的是檢查您對于考點“高中圓錐曲線綜合”相關知識的理解。有關該知識點的概要說明可查看:“高中圓錐曲線綜合”。


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